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第二宇宙速度大小的推导过程

2014年09月14日，分类：高中物理研究；标签归档: 物理百科

高一物理必修2第六章万有引力与航天中研究了三个宇宙速度。其大小分别为：

第一宇宙速度7.9km/s；

第二宇宙速度11.2km/s；

第一宇宙速度16.7km/s；

三个宇宙速度大小示意图

本文依据第二宇宙速度的定义与功能关系，把第二宇宙速度的大小推导过程做个解析。具体如下：

（1）第二宇宙速度的定义

在地球表面以该速度发射卫星，卫星会逃逸出地球引力，最终围绕太阳做运行，这样的最小速度称之为第二宇宙速度，也叫地球逃逸速度。不难看出，各种行星（比如火星）探测器的起始飞行速度都高于第二宇宙速度。

（2）功能关系概述

从功能关系来看，航天器在地球表面获得的初始动能，一部分克服地球万有引力的势能，留下的是在自身逃逸后的动能。（这一过程是不计大气层摩擦的）

第二宇宙速度是所有逃逸速度中最小的，也就是说克服地球万有引力的势能后其动能为零，换句话说，就是在地球表面所具有的能量都转化为势能了。

万有引力所对应的势能与重力势能类似，是一个相对的量。一般我们规定无穷远处的势能为零，显然在地球表面的势能是负值。

（3）具体推导过程

一个航天器在地面开始运动到脱离地球引力范围（相当于上升到无限远处）的过程中，克服引力做功，动能减少，所以初始动能必须不小于脱离过程中克服引力所做的功。
第二宇宙速度的推导公式 ………………………………①
但同一物体在不同高度处所受地球引力并不相等，随着物体高度的增加，地球引力将逐渐减弱。因此，功的数值不是简单地用就可以计算的。

我们采用微积分的思想来求解
第二宇宙速度的推导公式
根据万有引力定律，如果用G表示万有引力恒量，M表示地球的质量，m表示物体的质量，r表示物体离地心的距离，R为地球半径。则物体在离地心r处所受地球引力为

第二宇宙速度的推导公式，

则在物体上升dr的过程中，克服引力做功为
第二宇宙速度的推导公式 ……………………………… ②
对上式积分，积分限为从R积到∞，

第二宇宙速度的推导公式
所以，从地球表面到无穷远处过程中克服引力所做的功为

第二宇宙速度的推导公式 ………………………………③
结合①、③可以得到

第二宇宙速度的推导公式 ……………………………④

（从这一表达与第一宇宙速度的表达式对比，可以得出第二宇宙速度是第一宇宙速度的√2倍。）

把第二宇宙速度的推导公式 Nm²/kg²，

第二宇宙速度的推导公式 kg，

第二宇宙速度的推导公式 m，

带入上式即可计算出第二宇宙速度的大小为第二宇宙速度的推导公式 km/s．（文/王尚）

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文章发布于2014年09月14日。文章标签: 物理百科
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