人造卫星

2006年04月13日，分类：物理教研室；标签归档: 物理教研室

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【上次课巩固】问题：万有引力和重力的关系是什么？画一下双子星的示意图？请参考文章找答案《万有引力》。回答上来不要骄傲，回答不上来不要气馁，坚持努力，王尚坚信您会在不断的科学循环前进和网页互相链接中，学得越来越好。我们下面来研究人造卫星。

人造卫星

人造卫星（Manmade Satellite）：环绕地球在空间轨道上运行（至少一圈）的无人航天器。人造卫星基本按照天体力学规律绕地球运动，但因在不同的轨道上受非球形地球引力场、大气摩擦、太阳引力、月球引力和光压的影响，实际运动情况非常复杂。人造卫星是发射数量最多、用途最广、发展最快的航天器。人造卫星发射数量约占航天器发射总数的90%以上。在这里讨论人造卫星一般是只讨论绕地球做匀速圆周运动的人造卫星。大部分的物理题，我们只考虑万有引力充当向心力的情况。

人造卫星

地球的人造卫星

和星球表面上的物体不同，人造卫星所受的万有引力只有一个作用效果，就是使它绕星球做匀速圆周运动，因此万有引力等于向心力。又由于我们定义重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，因此可以认为地球的人造卫星，F=G=fn，（王尚提醒，这里的“重力”并非地球表面的重力）

（1）人造卫星的线速度和周期。人造卫星的向心力是由地球对它的万有引力提供的，可以看出，人造卫星的轨道半径r、线速度大小v和周期T是一一对应的，其中一个量确定后，另外两个量也就唯一确定了。离地面越高的人造卫星，匀速圆周运动线速度越小而周期越大。

（2）近地人造卫星。近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R，又因为地面附近，近地卫星分别是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。

太空中的人造卫星

（3）同步人造卫星。“同步”的含义就是和地球保持相对静止（又叫静止轨道卫星），所以其周期等于地球自转周期，既T=24h，根据⑴可知其轨道半径是唯一确定的，经过计算可求得同步卫星离地面的高度为h=3.6×107m≈5.6R地（3.6万公里），而且该轨道必须在地球赤道的正上方，卫星的运转方向必须是由西向东，与地球自转相一致。

关于卫星的几个推论

（1）若行星表面的重力加速度为 g，行星的半径为R，则环绕其表面的卫星最低速度（类似于地球的第一宇宙速度）v为√gR；

（2）若行星的平均密度为ρ，则卫星周期的最小值T同、G之间存在ρT^2=3π/G的关系式。

（3）卫星绕行星运转时，其线速度v角速度ω，周期T同轨道半径r存在下列关系：

①v^2∝1/r

②ω^2∝1/r^3

③T^2∝r^3

（4）地球的半径R=6400Km，可以推算，人造卫星的周期不低于（T最小的是对应着近地卫星的周期）84分钟。

（5）由于同步卫星的周期T一定，有前文中的结论可知，它只能在赤道上空运行，且发射的高度h，运行的线速度v是固定的。

（6）太空中比较靠近的两个天体往往是以“双星”的形式存在的。它们由于万有引力而绕连线上一点做圆周运动，两者的周期T和角速度ω一致。其轨道半径与质量成反比、环绕速度与质量成反比。做题的时候要注意，双星运行轨道半径r不同，且均与两者质心的连线距离（最好大家在解题的时候用l来表示这个量来区别一下）不一样。

三个宇宙速度的数值

第一宇宙速度：v₁=7.9 km/s

第二宇宙速度：v₂=11.2 km/s

第三宇宙速度：v₃=16.9 km/s

我们下面来分析一下这三个宇宙速度的意义。当发射速度v与三个宇宙速度分别有如下关系时，被发射物体的运动情况将有所不同：

第一种情况，当发射速度v＜v₁时，被发射物体最终仍将落回地面；

第二种情况，当发射速度v₁≤v＜v₂时，被发射物体将环境地球运动，成为地球卫星；

第三种情况，当发射速度v₂≤v＜v₃时，被发射物体将脱离地球束缚，成为环绕太阳运动的“人造行星”；

第四种情况，当发射速度v≥v₃时，被发射物体将从太阳系中逃逸。

由此可见，三个宇宙速度均是发射卫星过程中的不同临界状态，也是我们发射不同卫星的最关键参考数据。

人造卫星能量分析

对天体运动而言，研究的主要能量是引力势能+动能。

人造卫星的总能量包括两种类型：动能和引力势能。总能量为两者之和；这里的引力势能是卫星相对于地球（而非太阳）而言的。

对人造卫星而言，距离地球越远，具有的总能量越大。

具体来看：

R越大，E总=Ek+Ep越大；

R越大，Ek越小；

R越大，Ep越大；

（Ep的增量比Ek的减量要大，或者说Ep增大的率，要比Ek减小的率大）

Ek随着轨道半径R减小，可以通过向心力=万有引力的公式与动能的定义式推导出来。

在宇宙中的运动，如果推力器的引擎是关闭的，那么人造卫星的机械能是守恒的，因为只有重力做功；运动过程中，只有引力势能和动能之间的转化。强调：人造卫星一分为二的过程除外。

人造卫星引力势能公式的微积分推导

引力势能的表达式是：Ep=-GMm/R；其中Ep是引力势能，G是万有引力常量；M是地球的质量，m为研究对象的质量，R为m距离地球中心的距离；负号表示的是，引力势能为负值。因为我们规定的是无穷远处为零势能面。

引力势能的表达式是怎么来的？王尚老师给同学们做了一个微积分的推导，见下图所示：

其中A为人造卫星目前所在的位置；B为无穷远处的一个点（该点的引力势能为零）；

把质量为m的卫星从A推到B点，至少要做的功的计算式如下图：

引力势能公式推导过程（微积分）

从功和能之间的关系来分析，功的大小，等于能量的大小。只不过，在A点卫星的势能为负的。为什么是负的，同学们可以想一想把一个物体举高的过程，做的功与重力势能的改变及对应关系。

第一颗人造卫星

1957年10月4日。苏联宣布成功地把世界上第一颗绕地球运行的人造卫星送入轨道。美国官员宣称，他们不仅因苏联首先成功地发射卫星感到震惊，而且对这颗卫星的体积之大感到惊讶。这颗卫星重83公斤，比美国准备在第二年初发射的卫星重8倍，可是，美国没有苏联那么大的R7火箭，所以，发射不了。

苏联宣布说，这颗卫星的球体直径为55厘米，绕地球一周需1小时35分，距地面的最大高度为900公里，用两个频道连续发送信号。由于运行轨道和赤道成65度夹角，因此它每日可两次在莫斯科上空通过。苏联对发射这颗卫星的火箭没做详细报道，不过曾提到它以每秒8公里的速度离开地面。他们说，这次发射开辟了星际航行的道路。

1957年10月4日，这是人造卫星史上难忘的一天，苏联发射了第一颗人造地球卫星。这一事件具有划时代的意义，它宣告人类已经进入空间时代，天体物理学的理论也开始应用于实践阶段。

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