王尚：一道利用数学微元法求解运动速度的物理题

2012年03月07日，分类：高中物理研究；标签归档: 力学, 高中物理学习

这是网友发邮件问我的题目，是一道利用数学微元法求解运动速度的物理题。本题看似简单，有一定的难度。具体数学微元法在高中物理题目中如何用？我们借这个题目来讲解一下。

利用微元法求解物理速度题目原图

题目：质量相等的两个小球A和B通过轻绳绕过两个光滑的定滑轮带动C球上升，某时刻连接C球的两绳的夹角为θ；设A、B两球此时下落的速度为v，则C球上升的速度为多大？题目的图像见第一个图。

我们用微元法来解决这个运动问题。如第二个图所示（简单起见，我仅仅画出了右面的图像，左面对称）：

OB是原来右端绳子的位置，AB是经历了一小段时间dt后的绳子的位置。

无疑，OA就是C球在这段时间dt内运动的位移。我们依据高中物理课本中讲到的瞬时速度的定义式，

有：Vc=OA/dt；（这个Vc就是让我们求的。）

作图AD垂直于OB与D点；

在很小的一段时间内，可以认为AB=BD；（原因是这个时候∠B太小，可以认为较长的直角边等于斜边；）

于是有这个式子成立：OD=OB-BD=OB-AB=Vdt（这里王尚提醒下用到的V是右端的球运动的瞬时速度，题目中的已知数据；）

因此，在Rt△ODA中（∠O=θ/2），有：OA*cos（θ/2）=OD=Vdt；

微元法物理题目解析图像刚才已经说明，我们要求的C球的速度有Vc*dt=OA；

因此有：Vc*dt* cos（θ/2）=OA*cos（θ/2）= Vdt；

两边约去dt，有Vc=V/ cos（θ/2）；

这就是本题的答案。

质疑：为什么不能用运动的合成与分解来求解呢？

第一种解释：小球C并没有在绳上运动（甚至连运动趋势都没有），这一点与平抛运动的分解以及小船过河的分解在本质上是不一样的。

因此，这不是在考你运动的合成与分解。

第二种解释：因为在经历了一个非常小的时间dt后（或者在这个非常小的时间内），分解线的角度与分解速度都将变化。

我们力学中讲到的任何矢量的合成与分解，不能沿一个变化的方向进行；但并不是说不能在多个方向上分解。

本题的归纳

原题：质量相等的两个小球A和B通过轻绳绕过两个光滑的定滑轮带动C球上升，某时刻连接C球的两绳的夹角为θ；设A、B两球此时下落的速度为v，则C球上升的速度为多大？

本题考点难点有：高中物理课本上瞬时速度的定义；高中数学讲到的微分与导数概念应用；几何作图及分析；

数学是解决物理问题根基，不仅仅是高考题目，目前自主招生物理试题都倾向于数学分析。

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